Деепричастий иская и ловля не существует, правильно: ища, ловя. Но, насколько нам известно, в этом детском стихотворении употребляются глаголы (Я поохотился за лето: грибы искал, мышей ловил), иначе не будет рифмы (Устал я, выбился из сил). Возможно, кто-то что-то неправильно услышал или записал?
Верно: вводить в поисковую строку; писать в поисковой строке.
Разводить курей – так говорить нельзя. Правильно: разводить кур.
Верно: взвесить все за и против (с буквой Е, без кавычек).
Возможны оба варианта.
Оба сочетания возможны в разговорной речи. Нейтрально: набрать номер квартиры на домофоне, позвонить через домофон и др.